求解非线性转移路径：存在零利率下限的前瞻性指引（McKay，Nakamura & Steinsson，2016）
在这个应用中，我们求解一个单一资产的异质性主体新凯恩斯模型（McKay，Nakamura & Steinsson，2016）。这篇论文主要研究货币政策在存在零利率下限（即名义利率不能低于零）时的前瞻性指引作用。在文章中，对家庭贴现率的正向冲击会引发流动性陷阱；前瞻性指引是指在名义利率不再受到零下限约束时，中央银行许诺延长零利率的时限。
这个应用展现了工具包求解高度非线性模型的能力。当经济体处于流动性陷阱时，均衡经济系统与常规情况很不相同，这使得采用传统方法求解模型非常困难。
我们采用和原文相同的数学符号和参数设定。
模型
家庭问题
每个家庭成员在劳动生产率 \(e\) 和债券持有 \(b\) 上存在异质性。其中，劳动生产率的变化服从一个马尔科夫过程。家庭成员求解如下的贝尔曼方程：
其中，\(r_t\) 表示实际利率，\(w_t\) 表示工资率，\(\tau_t\) 表示边际税率，\(D_t\) 表示来自企业的总利润。\(\bar{\tau}(e)\) 的取值（0或1）表示拥有生产率 \(e\) 的劳动者是否被征税。家庭成员选择最优的消费 \(c\)，劳动供给 \(n\)，债券持有 \(b'\)，并且受到借贷约束 \(b' \geq 0\)。
个体状态变量的分布由 \(\Gamma_t\) 表示。个体的决策规则由 \(g_{c,t}, g_{n,t}, g_{b',t}\) 表示。
新凯恩斯设定
部分垄断竞争的厂商雇佣劳动力生产异质性中间投入品，这些中间投入品会被竞争性厂商用于生产最终消费品。最终消费品的生产函数是 CES。中间投入品的价格存在粘性，即每期只有一部分的中间品生产商可以调整价格。这种标准的新凯恩斯模型设定可以推导出一个标准的菲利普斯曲线： $\( Y_tS_t = z_t N_t \\ S_{t} =\theta (\frac{p_{t}^*}{P_{t}})^{\mu / (1-\mu)}+(\frac{1}{1+\pi_{t}})^{\mu / (1-\mu)} (1-\theta)S_{t-1} \\ 1+\pi_{t} =( \frac{1-\theta}{1- \theta( \frac{p_{t}^*}{P_{t}})^{\frac{1}{1-\mu}}})^{1-\mu} \\ \frac{p_t^*}{P_t} = \frac{P_t^A}{P_t^B} \\ P_t^A =\mu\frac{w_{t}}{z_{t}}Y_{t} + (1-\theta)\beta (1+\pi_{t+1})^{-\mu/(1-\mu)}P_{t+1}^A \\ P_t^B =Y_{t} + (1-\theta)\beta (1+\pi_{t+1})^{-1/(1-\mu)}P_{t+1} \)$
其中，\(\mu\) 表示边际替代弹性，\(\theta\) 表示每一期中间产品生产商能够调整价格的概率。\(Y_t\) 是总产出。\(S_t\) 是价格的离散程度。\(N_t\) 是劳动力总需求。\(z_t\) 是外生的劳动生产率。\(\pi_t\) 是通货膨胀率。\(p_t^*\) 是能够调整价格的厂商的最优价格。\(P_t^A，P_t^B\) 是用于求解模型的辅助变量。
中央银行依照泰勒规则设置名义利率，并且受到名义利率不能低于零的约束：
当不存在宏观不确定性时，费雪方程成立：
政府部门通过调整税率 \(\tau_t\) 来满足外生的政府支出和债券的利息支出。
其中，\(B_t\) 表示期初的政府债券规模；\(G_t\) 表示政府开支总额。
在基准模型中，财政支出的规则是政府债券总额不变：\(B_{t+1}=\overline{B}\)。
市场出清条件
债券市场出清条件:
劳动力市场出清条件:
商品市场出清条件:
均衡的定义
给定家庭状态的初始分布 \(\Gamma_0\)，序列竞争均衡由以下变量刻画：（1）家庭个体状态变量的分布函数：\(\{\Gamma_t\}_{t=0}^{\infty}\)；（2）家庭的值函数与策略函数 \(\{V_t,g_{c,t},g_{n,t},g_{b',t}\}_{t=0}^{\infty}\)； (3) 总体数量和价格 \(\{w_t,Y_t,S_t,N_t,D_t,\pi_t,\frac{p_t^*}{P_t},P_t^A,P_t^B,r_t,i_t,\tau_t\}_{t=0}^{\infty}\) 。这些序列满足如下条件：
商品市场出清条件满足瓦尔拉斯定理。这个系统还可以进一步简化，参见 hmod 文件。
hmod 文件
模型可以由 hmod 文件表示，hank1.hmod，如下所示：
1parameters beta gamma nu chi w r D tau;
2beta = 0.986;
3gamma = 2;
4nu = 0.5;
5chi = 1;
6
7var_shock e taxed;
8shock_trans = [
9 0.9663 0.0334 0.0003
10 0.0167 0.9666 0.0167
11 0.0003 0.0334 0.9663
12 ];
13e = [0.49008,1,2.0405];
14taxed = [0, 0, 1];
15
16var_state b;
17b_min = 0.0;
18b_max = 50.0;
19b_pts = 201;
20b_shift = 0.1;
21b = exp(linspace(log(b_min+b_shift),log(b_max+b_shift),b_pts)) - b_shift;
22
23var_pre_vfi budget_n1;
24budget_n1 = b + w*e - tau*taxed + D;
25
26var_policy c bp n;
27initial c budget_n1;
28initial bp 0;
29initial n 1;
30
31var_aux ne;
32
33vfi;
34 u = c^(1-gamma)/(1-gamma) - chi*n^(1+1/nu)/(1+1/nu);
35 Tv = u + beta*EXPECT(v(bp));
36 c + bp/(1+r) == b + w*e*n - tau*taxed + D;
37 ne = n*e;
38 c >= 1e-8;
39 bp >= b_min;
40 n >= 0;
41end;
42
43var_agg Y pii w S PA PB;
44mu = 1.2; % markup
45theta = 0.15; % prob staggered price
46pop_taxed = 0.25;
47ii0 = 0.005;
48G = 0;
49phi = 1.5;
50z = 1.0; % labor productivity
51
52% bond level affects steady state interest rate
53% see how it is calibrated in model_cali
54B = 5.6;
55
56% initial
57N = 1;
58
59var_agg_shock beta m_shock;
60m_shock = 0.0;
61
62model;
63 N = Y*S / z;
64 D = Y-w*N;
65 ii = max(ii0 + phi*pii + m_shock,0);
66 r = (1+ii) / (1+pii(+1)) - 1;
67 tau = (B+G-B/(1+r)) / pop_taxed;
68 pstar = PA/PB;
69
70 S == theta*pstar^(mu/(1-mu)) + (1/(1+pii))^(mu/(1-mu))*(1-theta)*S(-1);
71 1+pii == ( (1-theta)/(1-theta*(pstar)^(1/(1-mu))) )^(1-mu);
72 PA == mu*w/z*Y + (1-theta)*beta*(1+pii(+1))^(-mu/(1-mu))*PA(+1);
73 PB == Y + (1-theta)*beta*(1+pii(+1))^(-1/(1-mu))*PB(+1);
74 N == ne;
75 B == bp;
76end;
77
78% a different block for calibration; arguments to overwrite aggregate unknowns (var_agg)
79model_cali(N, B);
80 Y = z*N;
81 w = z/mu;
82 D = Y - w*N;
83 r = ii0;
84 tau = (B+G-B/(1+r)) / pop_taxed;
85
86 N == ne;
87 B == bp;
88
89 PA = mu*w/z*Y / (1-(1-theta)*beta);
90 PB = Y / (1-(1-theta)*beta);
91 S = 1;
92 pii = 0;
93end;
均衡系统现在包含了非平凡的市场出清条件，但是仍然可以被表示成方程组。在 var_agg 中定义所有未知数的时间序列，并且在 model 模块中用 “==” 定义相同数量的方程 (见下面代码中的高亮部分):
43var_agg Y pii w S PA PB;
44mu = 1.2; % markup
45theta = 0.15; % prob staggered price
46pop_taxed = 0.25;
47ii0 = 0.005;
48G = 0;
49phi = 1.5;
50z = 1.0; % labor productivity
51
52% bond level affects steady state interest rate
53% see how it is calibrated in model_cali
54B = 5.6;
55
56% initial
57N = 1;
58
59var_agg_shock beta m_shock;
60m_shock = 0.0;
61
62model;
63 N = Y*S / z;
64 D = Y-w*N;
65 ii = max(ii0 + phi*pii + m_shock,0);
66 r = (1+ii) / (1+pii(+1)) - 1;
67 tau = (B+G-B/(1+r)) / pop_taxed;
68 pstar = PA/PB;
69
70 S == theta*pstar^(mu/(1-mu)) + (1/(1+pii))^(mu/(1-mu))*(1-theta)*S(-1);
71 1+pii == ( (1-theta)/(1-theta*(pstar)^(1/(1-mu))) )^(1-mu);
72 PA == mu*w/z*Y + (1-theta)*beta*(1+pii(+1))^(-mu/(1-mu))*PA(+1);
73 PB == Y + (1-theta)*beta*(1+pii(+1))^(-1/(1-mu))*PB(+1);
74 N == ne;
75 B == bp;
76end;
可以定义一个不同于主 model 模块的替代模型块。例如，脚本文件中的以下模块定义了用于校准的块，它采用不同的未知数和不同的方程组。校准在这里处于稳态，因此我们可以将校准系统简化为总劳动力和债券持有的方程，所有其他变量都是两个未知数的简单函数，或者由稳态条件隐含。
79model_cali(N, B);
80 Y = z*N;
81 w = z/mu;
82 D = Y - w*N;
83 r = ii0;
84 tau = (B+G-B/(1+r)) / pop_taxed;
85
86 N == ne;
87 B == bp;
88
89 PA = mu*w/z*Y / (1-(1-theta)*beta);
90 PB = Y / (1-(1-theta)*beta);
91 S = 1;
92 pii = 0;
93end;
所有的 var_agg 都需要在声明之后进行正确的初始化，除非它们的值是由替代模块返回的 (即, 此处的 model_cali 模块)。关于如何通过传递解出的校准来求解主模型块，请参见下文。
使用工具箱
在解析完脚本文件之后，工具箱生成了 MATLAB 文件：solve_vfi.m，solve_ss.m，solve_trans_linear.m，solve_trans_nonlinear.m，solve_cali.m 以及其他可用于求解稳态、平稳分布、转移路径和替代系统 (在此处是用于校准) 的函数。生成文件的使用如下所示。
解析 .hmod 文件
求解静态均衡
求解线性转移矩阵作为预热
求解流动性冲击的转移路径
求解具有流动性冲击与前瞻性指引的转移路径
